Исследование систем массового обслуживания с бесконечным числом приборов и малым параметром

В данной работе рассматривается динамика крупномасштабных систем массового обслуживания с бесконечным числом обслуживающих приборов. Предполагается, что имеется входящий пуассоновский поток заявок с интенсивностью ??. Также предполагается, что каждая заявка, попав в систему, выбирает два произвольных прибора случайным образом и выбирает для обслуживания прибор с более короткой очередью. Доля ?_?(?) приборов с длиной очереди не менее чем можно описать с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Предполагается, что эта система обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечного порядка с малым вещественным параметром, который позволяет описать процессы быстрых изменений в системах массового обслуживания. В этой работе используются методы численного моделирования для анализа такого класса систем массового обслуживания. Численный анализ показал, что решение рассматриваемых сингулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнения имеют область быстрого изменения решений, которая находится в начальной области интегрирования задачи. Эта зона быстрого изменения решений называется областью пограничного слоя. Толщина пограничного слоя зависит от величины малого параметра, и когда малый параметр уменьшается, то толщина пограничного слоя также уменьшается. В работе приведены численные примеры существования стационарных состояний для эволюции решений ?_?(?), а также решения с пограничными слоями.

Analysis of Queueing Systems with an Infinite Number of Servers and a Small Parameter

In this paper we consider the dynamics of large-scale queueing systems with an infinite number of servers. We assume that there is a Poisson input flow of requests with intensity ??. We suppose that each incoming request selects two any servers randomly and at the next step of an algorithm is sending this request to the server with the shorter queue instantly. A share ??(?) of the servers that have the queues lengths with not less than can be described using a system of ordinary differential equations of infinite order. We investigate this system of ordinary differential equations of infinite order with a small real parameter. A small real parameter allows us to describe the processes of rapid changes in large-scale queueing systems. We use the simulation methods for this large-scale queueing systems analysis. The numerical simulation show that the solution of the singularly perturbed systems of differential equations have an area of rapid change of the solutions, which is usually located in the initial point of the problem. This area of rapid function change is called the area of the mathematical boundary layer. The thickness of the boundary layer depends on the value of a small parameter, and when the small parameter decreases, the thickness of the boundary layer decreases. The paper presents the numerical examples of the existence of steady state conditions for evolutions ?_?(?) and quasi-periodic conditions with boundary layers for evolutions ?_?(?).