On summation of Fourier series in finite form

The problem of summation of Fourier series in finite form is formulated in the weak sense, which allows one to consider this problem uniformly both for classically convergent and for divergent series. For series with polynomial Fourier coefficients \(a_n, b_n \in \mathbb{R}[n]\), it is proved that the sum of a Fourier series can be represented as a linear combination of 1, \(\delta(x)\), \(\cot \frac{x}{2}\) and their derivatives. It is shown that this representation can be found in a finite number of steps. For series with rational Fourier coefficients \(a_n, b_n \in \mathbb{R}(n)\), it is shown that the sum of such a series is always a solution of a linear differential equation with constant coefficients whose right-hand side is a linear combination of 1, \(\delta(x)\), \(\cot \frac{x}{2}\) and their derivatives. Thus, the issue of summing a Fourier series with rational coefficients is reduced to the classical problem of the theory of integration in elementary functions.

Задача о суммировании рядов Фурье в конечном виде сформулирована в слабом смысле, что позволяет единообразно рассматривать эту задачу как для сходящихся в классическом смысле рядов, так и для расходящихся. Для рядов c полиномиальными коэффициентами Фурье \(a_n\), \(b_n \in \mathbb{R}[n]\) доказано, что сумма ряда Фурье может быть представлена как линейная комбинация \(1\), \(\delta(x)\), \(\cot \tfrac{x}{2}\) и их производных. Показано, что это представление может быть найдено за конечное число действий. Для рядов c рациональными коэффициентами Фурье \(a_n\), \(b_n \in \mathbb{R}(n)\) показано, что сумма такого ряда всегда является решением линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, правая часть которого является линейной комбинацией \(1\), \(\delta(x)\), \(\cot \tfrac{x}{2}\) и их производных. Тем самым вопрос о суммировании рядов Фурье с рациональными коэффициентами сведен к классическому вопросу теории интегрирования в элементарных функциях.