Неровенства эволюции высокого порядка с комплекснозначными коэффициентами

Изучается отсутствие решений эволюционных неравенств ?-го порядка с комплексными значениями. Актуальность исследования заключается в распространении полученных результатов с ?-мерного действительного пространства на ?-мерное комплексное пространство. Получены условия отсутствия слабых нетривиальных решений рассматриваемой задачи. Cуществует два условия отсутствия решения, одно из 107 которых связано с индексом критерия ?, а другое - с аргументом комплексной функции, зависящим от ?. Доказательства результатов об отсутствии решений в данной работе основаны на методике, предложенной С. И. Похожаевым и развитой Э. Л. Митидиери и С. И. Похожаевым, которая базируется на методе пробных функций. Их подход в значительной степени опирается, прежде всего, на априорные интегральные оценки возможных решений рассматриваемой задачи и на вывод асимптотик этих оценок по некоторому параметру, стремящемуся к ∞ или к 0 в зависимости от характера задачи. Наконец, отсутствие решения доказывается от противного. А именно, достижение нулевого предельного значения в соответствующей априорной оценке гарантирует отсутствие нетривиального решения этой задачи.

This article studies the absence of solutions to n-th order evolutionary inequalities with complex values. The relevance of the study lies in the extension of the obtained results from the n-dimensional real space to the n-dimensional complex space. In the first section of this paper studies the form of n-th order evolutionary inequalities in n-dimensional complex space, and the second section is devoted to finding the condition for the absence of a solution to n-th order Semilinear inequalities with complex-valued and with bounded coefficients. As a result, we obtained conditions for the absence of weak non-trivial solutions to the problem under consideration. It turns out that there are two conditions for the absence of a solution, one of which is associated with the criterion index q, and the other with the argument of the complex function, which depends on q. The proofs of the results on the absence of solutions in this work are based on the technique proposed by S. I. Pokhozhaev [10] and developed by E. L. Mitidieri and S. I. Pokhozhaev [8], which is based on the method of test functions. Their approach relies heavily primarily on a priori integral estimates for possible solutions to the problem under consideration and on deriving asymptotics for these estimates with respect to some parameter that tends to ∞ or to 0 depending on the nature of the problem. Finally, the absence of a solution is proven by contradiction. Namely, reaching the zero limit value in the corresponding a priori estimate guarantees that there is no nontrivial solution to this problem.