Об операторных оценках для эллиптических уравнений в двумерных областях с быстро осциллирующей границей и частой сменой краевых условий

В работе рассматривается полулинейное эллиптическое уравнение второго порядка в произвольной двумерной области с быстро осциллирующей границей с малой амплитудой осцилляций. Осцилляции произвольные, никакой периодичности или локальной периодичности не предполагается. На такой осциллирующей границе задается частая смена граничных условий Дирихле и Неймана. Рассматривается случай, когда при усреднении в пределе возникает задача Дирихле с тем же дифференциальным выражением. Основной полученный результат - это $W_2^1$- и $L_2$-операторные оценки.Библиография: 36 названий.

A second-order semilinear elliptic equation is considered in an arbitrary two-dimensional domain with boundary that is rapidly oscillating with small amplitude. The oscillations are arbitrary, with no assumption of periodicity or local periodicity. Fast alternating Dirichlet/Neumann boundary conditions are imposed on this boundary. In the case under consideration a Dirichlet problem with the same differential equation arises in the homogenization limit. The main results obtained are $W^1_2$ and $L_2$-operator estimates.