Уточненное асимптотическое решение задачи изгиба полосы-балки

Предлагается метод построения решения задачи о нахождении напряженно-деформированного состояния длинной упругой полосы-балки. Исходные безразмерные дифференциальные уравнения первого порядка плоской задачи теории упругости в соответствии с идеей метода простых итераций Пикара заменены на интегральные уравнения относительно поперечной координаты. Система уравнений приводится к виду, позволяющему вычислять последовательно все неизвестные задачи. В результате все искомые неизвестные задачи представляются в виде разложений в асимптотические ряды по малому параметру тонкостенности и степенные ряды по безразмерной поперечной координате. Выполнение граничных условий на длинных сторонах полосы-балки приводит решение задачи к модели, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, совпадающими с известными классическими изгиба и растяжения-сжатия стержня, сингулярными уравнениями краевого эффекта и сингулярными уравнениями реакций в закреплениях концов. После решения элементарных задач изгиба, растяжения-сжатия и выполнения всех граничных условий на концах, результаты решения задач позволяют записать решения для всех искомых неизвестных исходной задачи теории упругости.

A methodfor constructing a solution to the problem offinding the stress-strain state of a long elastic strip-beam is proposed. The original dimensionless first-order differential equations of the plane problem of elasticity theory are replaced by integral equations with respect to the transverse coordinate in accordance with the idea of the Picard simple iteration method. The system of equations is reduced to a form that allows one to calculate all unknown problems sequentially. As a result, all unknown problems are represented as expansions in asymptotic series with respect to a small parameter of thinness of the wall and power series with respect to the dimensionless transverse coordinate. Satisfaction of the boundary conditions on the long sides of the strip-beam leads the solution to the problem to a model described by ordinary differential equations that coincide with the well-known classical equations of bending and tension-compression of a rod, singular equations of the edge effect and singular equations of reactions in the end fastenings. After solving elementary problems of bending, tension-compression and fulfilling all boundary conditions at the ends, the results of solving the problems allow us to write down solutions for all unknowns of the original problem of elasticity theory.