О разрушении решения задачи Коши для одного $(N+1)$-мерного уравнения составного типа с градиентной нелинейностью

Рассмотрена задача Коши для нелинейного эволюционного уравнения третьего порядка с нелинейностью $|D_xu|^q$. Найдено два показателя $q_1=N/(N-1)$ и $q_2=(N+1)/(N-1)$ такие, что при $1 \lt q \leqslant q_1$ слабое локальное во времени решение отсутствует для любого $T>0$, при $q_1 \lt q\leqslant q_2$ слабое локальное во времени решение существует и единственно, однако отсутствует глобальное во времени слабое решение, т. е. вне зависимости от “величины” начальной функции решение задачи Коши разрушается за конечное время.

We consider the Cauchy problem for a third-order nonlinear evolution equation with nonlinearity $|D_xu|^q$. Two exponents, $q_1=N/(N-1)$ and $q_2=(N+1)/(N-1)$, are found such that for $1 \lt q\leqslant q_1$, there is no weak solution local in time for any $T>0$; for $q_1 \lt q\leqslant q_2$, there is a unique weak solution local in time; however, there is no weak solution global in time, i.e., independently of the “value” of the initial function, the solution to the Cauchy problem blows up in a finite time.