Постановка плоской задачи теории упругости в напряжениях

В статье описываются дифференциальная и вариационная постановки плоской задачи теории упругости относительно тензора напряжений с формулировкой основных типов граничных условий, выраженных непосредственно через компоненты тензора напряжений. Для возможности учета произвольных граничных условий в постановку включено дополнительное неизвестное - угол жесткого поворота. Основным достоинством постановки является возможность непосредственного определения тензора напряжений без использования операций дифференцирования перемещений. Исследуется эквивалентность предлагаемой постановки и постановки в перемещениях, доказывается единственность решения. Доказывается возможность прямого решения II краевой задачи (незакрепленное тело, нагруженное самоуравновешенной нагрузкой) без введения фиктивных связей. В данной работе описана теоретическая часть постановки плоской задачи теории упругости в напряжениях. Результаты дальнейших исследований, получение граничных интегральных уравнений, численное решение тестовых задач методом граничных элементов в напряжениях будут представлены в следующей публикации.

This article presents the differential and variational formulations for the plane elasticity problem in terms of the stress tensor. The main types of boundary conditions are described directly through the components of the stress tensor. To accommodate arbitrary boundary conditions, an additional unknown-the rigid-body rotation angle-is introduced into the formulation. The primary advantage of this approach is that it enables direct determination of the stress tensor without requiring differentiation of displacement fields. The equivalence of the proposed stress-based formulation with the classical displacement formulation is examined, and the uniqueness of the solution is proven. It is also demonstrated that the second boundary value problem (an unconstrained body subjected to a self-equilibrated load) can be solved directly without introducing any fictitious supports. The present work focuses on the theoretical aspects of this stress-based formulation. The derivation of boundary integral equations and the numerical solution of test problems using a stress-based boundary element method will be presented in a subsequent publication.