Экспоненциально сходящиеся разностные схемы для краевых задач

Стандартные разностные схемы для решения краевых задач основаны на сеточных формулах дифференцирования, получаемых из полиномиальной интерполяции. Сходимость большинства таких методов степенная. В данной работе предложен новый метод составления разностных схем, основанный на сеточном аналитическом продолжении искомой функции. Разностные схемы, составленные согласно предлагаемому методу, экономичны (для достижения ошибок округления оказывается достаточно использовать сетки с несколькими десятками точек) и обладают экспоненциальной сходимостью (типичный выигрыш по точности достигает 5 - 8 порядков и более), что выгодно отличает их от стандартных методов. Предложенный подход единообразно применим к различным классам задач математической физики и продемонстрирован на примере краевых задач для ОДУ. В работе приведен пример, иллюстрирующий достоинства предлагаемого подхода.