Using NeuralPDE.jl to solve differential equations

This paper describes the application of physics-informed neural network (PINN) for solving partial derivative equations. Physics Informed Neural Network is a type of deep learning that takes into account physical laws to solve physical equations more efficiently compared to classical methods. The solution of partial derivative equations (PDEs) is of most interest, since numerical methods and classical deep learning methods are inefficient and too difficult to tune in cases when the complex physics of the process needs to be taken into account. The advantage of PINN is that it minimizes a loss function during training, which takes into account the constraints of the system and th e laws of the domain. In this paper, we consider the solution of ordinary differential equations (ODEs) and PDEs using PINN, and then compare the efficiency and accuracy of this solution method compared to classical methods. The solution is implemented in the Julia programming language. We use NeuralPDE.jl, a package containing methods for solving equations in partial derivatives using physics-based neural networks. The classical method for solving PDEs is implemented through the DifferentialEquations.jl library. As a result, a comparative analysis of the considered solution methods for ODEs and PDEs has been performed, and an evaluation of their performance and accuracy has been obtained. In this paper we have demonstrated the basic capabilities of the NeuralPDE.jl package and its efficiency in comparison with numerical methods.

Работа описывает применение Physics Informed Neural Network (PINN) для решения уравнений в частных производных. Physics Informed Neural Network - это вид глубокого обучения, который учитывает физические законы для более эффективного решения физических уравнений по сравнению с классическими методам. Наибольший интерес представляет решение уравнений в частных производных (УЧП), так как численные методы и классические методы глубокого обучения не эффективны и слишком сложно настраиваемы в случаях, когда необходимо учесть сложную физику процесса. Преимуществом PINN является то, что при обучении она минимизирует функцию потерь, которая учитывает ограничения системы и законы предметной области. В работе мы рассматриваем решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и УЧП с помощью PINN, а затем сравниваем эффективность и точность этого метода решения по сравнению с классическими. Решение реализовано на языке программирования Julia. Мы используем NeuralPDE.jl - пакет, содержащий методы решения уравнений в частных производный с помощью нейронных сетей, основанных на физике. Классический метод решения УЧП реализован посредством библиотеки DifferentialEquations.jl. В результате был проведен сравнительный анализ рассматриваемых методов решения для ОДУ и УЧП, а также получена оценка их производительности и точности. В этой статье мы продемонстрировали базовые возможности пакета NeuralPDE.jl и его эффективность по сравнению с численными методами.