О ЯДРАХ ИНВАРИАНТНЫХ ОПЕРАТОРОВ ШРЁДИНГЕРА С ТОЧЕЧНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ. ЗАДАЧА ГРИНЕВИЧА-НОВИКОВА

Согласно Березину-Фаддееву под оператором Шрёдингера с точечными взаимодействиями -∆ + ∑^m_j=1 α_jδ(x - x_j) X = {x_j}₁^m ⊂ ℝ³, {α_j}^m₁ ⊂ ℝ понимают любое самосопряжённое расширение сужения -∆_X оператора Лапласа -∆ на подмножество {f ∈ H² (ℝ³) : f(x_j) = 0,1 ≤ j ≤ m} соболевского пространства H²(ℝ³). В настоящей заметке изучаются расширения (реализации), инвариантные относительно группы симметрий множества X = {x_j}^m₁ вершин правильного m -угольника. Такие реализации H_B параметризуются специальными циркулянтными матрицами B ∈ ℂ^m×m . Мы описываем все такие реализации с нетривиальными ядрами. Решена задача Гриневича-Новикова о простоте нулевого собственного значения реализации H_B со скалярной матрицей B = αI и четным m . Показано, что при нечётном m нетривиальные ядра всех реализаций H_B со скалярными B = αI двумерны. Кроме того, для произвольных реализаций (B ≠ αI) доказана оценка dim(kerH_B) ≤ m - 1 и описаны все инвариантные реализации с максимальной размерностью dim(kerH_B) = m -1. Одна из них - расширение Крейна - минимальное положительное расширение оператора -∆_X.

According to Berezin and Faddeev, a Schrödinger operator with point interactions -∆ + ∑^m_j=1 α_jδ(x - x_j) X = {x_j}^m₁ ⊂ ℝ³, {α_j}^m₁ ⊂ ℝ, is any self-adjoint extension of the restriction -∆_X of the Laplace operator -∆ to the subset {f ∈ H² (ℝ³) : f(x_j) = 0,1 ≤ j ≤ m} of the Sobolev space H²(ℝ³). The present paper studies the extensions (realizations) invariant under the symmetry group of the vertex set X = {x_j}^m₁ of a regular m -gon. Such realizations H_B are parametrized by special circulant matrices B ∈ ℂ^m×m . We describe all such realizations with non-trivial kernels. А Grinevich-Novikov conjecture on simplicity of a zero eigenvalue of the realization H_B with a scalar matrix B = αI and an even m is proved. It is shown that for an odd m non- trivial kernels of all the realizations H_B with scalar B = αI are two-dimensional. Besides, for arbitrary realizations (B ≠ αI ) the estimate dim(ker H_B ) ≤ m -1 is proved, and all the invariant realizations of the maximal dimension dim(kerH_B ) = m -1 are described. One of them is the Krein realization, which is the minimal positive extension of the operator -∆X.