Об операторных оценках для эллиптических уравнений в многомерных областях с сильно искривленной границей

Рассматривается система полулинейных эллиптических уравнений второго порядка в многомерной области. Граница такой области произвольным образом искривляется, оставаясь в тонком слое вдоль невозмущенной границы. На искривленной границе задается условие Дирихле или условие Неймана. В случае условия Неймана на структуру искривления накладываются дополнительные достаточно естественные и весьма слабые условия. Наложенные условия позволяют рассмотреть очень широкий класс искривлений, включая, например, классическую быстро осциллирующую границу. Показано, что когда упомянутый тонкий слой сжимается и искривленная граница приближается к невозмущенной, усреднение рассматриваемой задачи приводит к той же системе уравнений с теми же краевыми условиями, но уже на предельной границе. Основной результат - доказательство соответствующих операторных $W_2^1$- и $L_2$-оценок.Библиография: 29 названий.

A system of semilinear elliptic equations of the second order is considered in a multidimensional domain. The boundary of this domain is curved arbitrarily within a thin layer along the unperturbed boundary. Dirichlet or Neumann conditions are prescribed on the curved boundary. In the case of Neumann conditions certain additional, rather natural and very weak assumptions are made on the structure of the curved boundary. They make it possible to consider a very wide class of curved boundaries, including, for example, classical rapidly oscillating boundaries. It is shown that when the above thin layer shrinks and the curved boundary approaches the unperturbed one, the homogenization of the problem under consideration leads to the same system of equations with the same boundary conditions but imposed on the limit boundary. The main result consists in relevant operator $W_2^1$- and $L_2$-estimates. Bibliography: 29 titles.