Ускорение скорости сходимости метода чебышевской коллокации на основе алгоритма Кленшоу

Среди численных методов решения одноточечных задач для неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) первого порядка значительное место занимает метод коллокаций с использованием разложения решения по полиномам Чебышева первого и второго рода. Такой подход сам по себе является эффективным и устойчивым и, кроме того, позволяет активно опираться при поиске решения на метод интегрирующих множителей. Вместе с тем применение метода Кленшоу для ускорения вычислений во всех реализациях метода чебышевской коллокации уменьшает число арифметических операций по сравнению с обычно применяемыми методиками в несколько раз. Тем самым и эффективность методов решения ЛОДУ повышается практически на порядок.

Among the numerical methods for solving one-point problems for inhomogeneous linear ordinary differential equations (LODEs) of the first order, the collocation method using the expansion of the solution in Chebyshev polynomials of the first and second kind occupies a significant place. This approach in itself is effective and stable and, in addition, allows you to actively rely on the method of integrating factors when searching for a solution. At the same time, the use of the Clenshaw method to speed up calculations in all implementations of the Chebyshev collocation method reduces the number of arithmetic operations several times compared to commonly used methods. Thus, the efficiency of methods for solving LODEs increases by almost an order of magnitude.