On the algebraic properties of difference approximations of Hamiltonian systems

In this paper, we examine difference approximations for dynamic systems characterized by polynomial Hamiltonians, specifically focusing on cases where these approximations establish birational correspondences between the initial and final states of the system. Difference approximations are commonly used numerical methods for simulating the evolution of complex systems, and when applied to Hamiltonian dynamics, they present unique algebraic properties due to the polynomial structure of the Hamiltonian. Our approach involves analyzing the conditions under which these approximations preserve key features of the Hamiltonian system, such as energy conservation and phase-space volume preservation. By investigating the algebraic structure of the birational mappings induced by these approximations, we aim to provide insights into the stability and accuracy of numerical simulations in identifying the true behavior of Hamiltonian systems. The results offer a framework for designing efficient and accurate numerical schemes that retain essential properties of polynomial Hamiltonian systems over time.

В этой работе мы рассмотрим разностные аппроксимации динамических систем с полиномиальными гамильтонианами, в частности, сосредоточив внимание на случаях, когда эти аппроксимации устанавливают бирациональные соответствия между начальным и конечным состояниями системы. Разностные аппроксимации обычно используются численными методами для моделирования эволюции сложных систем, и при применении к гамильтоновой динамике они обладают уникальными алгебраическими свойствами, обсулолвленными полиномиальной структуры гамильтона. Наш подход включает анализ условий, при которых эти аппроксимации сохраняют ключевые черты гамильтоновой системы, такие как сохранение энергии и сохранение фазово-пространственного объёма. Исследуя алгебраическую структуру бирациональных отображений, вызванных этими приближениями, мы стремимся дать представление об устойчивости и точности численного моделирования в сравнении с поведением исходных гамильтоновых систем. Представленные результаты направлены на разработку эффективных и точных числовых схем, которые сохраняют существенные свойства полиномиальных гамильтоновых систем с течением времени.